证明为什么1加1等于2？

证明为什么1加1等于2？

根据皮亚诺自然数公理：

1.0属于N.

2.若x属于N,则x有且只有一个后继x'.

3.对任一个x属于N,皆有x'不等于0.

4.对任意x,y属于N,若x不等于y,则x'不等于y'.

皮亚诺公理定义：

目的是定义自然数集合，首先需要承认的是集合具有的一些运算性质，例如：a=b时a,b代表的是同一个元素。

皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

Ⅰ、0是自然数；

Ⅱ、每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a' ，a'也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数（a+1）。例如：1'=2，2'=3等等。）；可是仅有这两个公理还不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。

比如考虑由 0, 1 构成的数字系统，其中1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：

Ⅲ、0不是任何自然数的后继数；但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统 0, 1, 2, 3，其中3的后继是3。看来，我们设置的公理还不够严密，我们还得再加一条。

Ⅳ、不同的自然数有不同的后继数，如果自然数b、c的后继数都是自然数a，那么b=c；最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如 0.3），同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。

Ⅴ设S⊆N，且满足2个条件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那么n'∈S。则S是包含全体自然数的集合，即S=N。(这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性)

注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n=0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。若将只考虑正整数，则公理中的0要换成1，自然数要换成正整数。

参考资料：百度百科-皮亚诺公理