质点系的三个定理

质点系的三个定理

质点系的角动量、角动量定理和角动量守恒定律是在质点的角动量、角动量定理和角动量守恒定律的基础上建立起来的。设质点系中包括了n个质点, 它们的质量分别为m1、m2、…、mn , 速度分别为v1、v2、…、vn , 相对于参考点o的位置矢量分别为r1、r2、…、rn，所受相对于参考点o的力矩分别为m1、m2、…、mn。质点系的角动量定义为系统中所有质点的角动量的矢量之和, 即. (4-15)对质点系中每个质点，根据对参考点o的角动量定理，列出下面的方程式将这n个方程式相加, 可以得到,即, (4-16)式中是作用于质点系的力矩的矢量和。因为质点系中每个质点除了受到外力的作用, 还受到系统内其他质点的作用, 所以其中是作用于质点系的外力对参考点o的力矩的矢量和, 则是质点系内质点之间的作用力对参考点o的力矩矢量和。让我们看一下质点i和j之间的情况。fij和fji是质点i和j之间的作用力和反作用力, 设它们相对于参考点o的位置矢量分别为ri和rj , 则fij和fji相对于参考点o的力矩分别为 ,将它们相加, 得 .由图4-7可以看出, (ri- rj)与fij是平行的, 它们的矢积必定等于零。对于质点系中每一对相互作用的质点, 都有同样的情形, 所以内力对参考点o的总力矩一定等于零, 即.图 4-7 于是式(4-16)可以写为 ,去掉角标“外”, 用代表质点系所受外力对参考点o的力矩矢量和, 则上式可改写为 . (4-17)这表示, 质点系对某参考点的角动量随时间的变化率，等于该质点系所受外力对同一参考点的力矩矢量和。这就是质点系的角动量定理。如果外力对参考点o的力矩的矢量和始终等于零, 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化, 即l = 恒矢量(当时) , (4-18)这就是质点系角动量守恒定律。当作用于质点系的外力对某轴(例如oz)的合力矩等于零时, 质点系对此轴的角动量将不随时间变化, 即恒量(当时) ,(4-19)这称为质点系对轴的角动量守恒定律。http://www.wljx.sdu.edu.cn/wlwz/wangke/chpt04/section03/topic01/kcnr.htm