不动点法解数列通项公式问题

不动点法解数列通项公式问题

当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 

注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。 我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d)  ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 ，则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 

注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d) 若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 

其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。

扩展资料：

设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组为F(x)=0，然后把方程组改为便于迭代的等价形式x=ψ(x)，由此就可以构造出不动点迭代法的迭代公式为xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}满足lim(k→∞)xk=x*，则x*就是ψ的不动点，这样就可以求出非线性方程组的解。

不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。数学中的各种方程，诸如代数方程、微分方程和积分方程等等，均可改写成  的形式，其中  是某个适当的空间 中的点，  是从  到 的一个映射，把点  变成点  。

于是，方程的解就相当于映射  在空间  中的不动点。这一方法把解方程转化为求某个映射的不动点，故而得此名。其优点在于可以把几何、拓扑和泛函分析中较深刻的工具应用于方程论。

参考资料：百科百科-不动点法