设a为n阶方阵，且满足a^2=a。证明:r(a-e）+r(a)=n，其中e是n阶单位矩阵

设a为n阶方阵，且满足a^2=a。证明:r(a-e）+r(a)=n，其中e是n阶单位矩阵

因为A*A=A，所以A(A-E)=0；

故A-E的每个列向量都是方程Ax=0的解；

由于A-E中的列向量未必构成解空间的基，所以R(A)+R(A-E)小于等于n；

又由R(A)+R(B)>=R(A+B)；

可得R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)>=R(A+E-A)=R(E)=n；

所以R(A)+R(A-E)=n。

扩展资料：

矩阵特征值与特征向量

n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足Av=λv的标量以及非零向量。其中v为特征向量， λ为特征值。A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为 λ(A)。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。

矩阵特征值的性质

性质1：n阶方阵A=(aij)的所有特征根为λ1，λ2，…,λn(包括重根)，则：

性质2：若λ是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则1/λ 是A的逆的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质3：若 λ是方阵A的一个特征根，x为对应的特征向量，则λ 的m次方是A的m次方的一个特征根，x仍为对应的特征向量。

性质4：设λ1，λ2，…,λm是方阵A的互不相同的特征值。xj是属于λi的特征向量( i=1,2,…,m)，则x1,x2,…,xm线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关。