概率是什么？Sigma algebra，Borel field 是什么意思，意义何在

概率是什么？Sigma algebra，Borel field 是什么意思，意义何在

概率，又称或然率、机会率、机率(几率)或可能性，是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量，一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。越接近1，该事件更可能发生;越接近0，则该事件更不可能发生。人们常说某人有百分之多少的把握能通过这次考试，某件事发生的可能性是多少，这都是概率的实例。

折叠古典定义

如果一个试验满足两条:

(1)试验只有有限个基本结果;

(2)试验的每个基本结果出现的可能性是一样的。

这样的试验便是古典试验。

对于古典试验中的事件A，它的概率定义为:P(A)=m/n，其中n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目。m表示事件A包含的试验基本结果数。这种定义概率的方法称为概率的古典定义。

折叠频率定义

随着人们遇到问题的复杂程度的增加，等可能性逐渐暴露出它的弱点，特别是对于同一事件，可以从不同的等可能性角度算出不同的概率，从而产生了种种悖论。另一方面，随着经验的积累，人们逐渐认识到，在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示一定的稳定性。R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率，这就是概率的频率定义。从理论上讲，概率的频率定义是不够严谨的。

折叠统计定义

在一定条件下，重复做n次试验，nA为n次试验中事件A发生的次数，如果随着n逐渐增大，频率nA/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做P(A)=p。这个定义成为概率的统计定义。

在历史上，第一个对"当试验次数n逐渐增大，频率nA稳定在其概率p上"这一论断给以严格的意义和数学证明的是雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli)。

从概率的统计定义可以看到，数值p就是在该条件下刻画事件A发生可能性大小的一个数量指标。

由于频率nA/n总是介于0和1之间，从概率的统计定义可知，对任意事件A，皆有0≤P(A)≤1，P(Ω)=1，P(Φ)=0。其中Ω、Φ分别表示必然事件(在一定条件下必然发生的事件)和不可能事件(在一定条件下必然不发生的事件)。

折叠公理化定义

柯尔莫哥洛夫（kolmogorov）于1933年给出了概率的公理化定义，如下:

设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋于一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率。这里P(·)是一个集合函数，P(·)要满足下列条件:

(1)非负性:对于每一个事件A，有P(A)≥0;

(2)规范性:对于必然事件Ω，有P(Ω)=1;

(3)可列可加性:设A1，A2……是两两互不相容的事件，即对于i≠j，Ai∩Aj=φ，(i,j=1,2……)，则有概率应用之一——骰子

概率应用之一——骰子

P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……

Sigma algebra即sigma代数

sigma代数( sigma-algebra)Σ 是一个样本空间(Ω)的子集的非空集合，其元素满足以下特征:

空集∈Σ

2. 如果A∈Σ，那么Ac(A的补集)也属于Σ

3. Σ内可数个元素的并也属于Σ

Borel field即波莱尔域

Borel 域是概率统计中最常见的一类σ代数，其定义如下:

B =σ ({(?∞,a]: ?a∈R})

对于高维的情况，我们可以定义多维Borel 域:

B^k=σ ({∏j=1,,k (?∞,a]: ?a∈R})

上述两个定义都用到了σ 域的生成这个概念，其中用σ (.) 表示由给定的集合系生成的最小σ 域。

Borel 域中的成员称为Borel 集合。